Altın oran, eski çağlardan beri en mükemmel ve uyumlu olarak kabul edilen orantıdır. Heykellerden tapınağa kadar birçok antik yapının temelini oluşturur ve doğada çok yaygındır. Aynı zamanda, bu oran şaşırtıcı derecede zarif matematiksel yapılarda ifade edilir.
Talimatlar
Aşama 1
Altın oran şu şekilde tanımlanır: bir parçanın iki parçaya bölünmesidir ki, daha küçük parça daha büyük parçayı ifade eder, aynı şekilde daha büyük parça tüm parçayı ifade eder.
Adım 2
Tüm parçanın uzunluğu 1 ve büyük parçanın uzunluğu x olarak alınırsa, aranan orantı şu denklemle ifade edilir:
(1 - x) / x = x / 1.
Oranın her iki tarafını x ile çarparak ve terimleri aktararak ikinci dereceden denklemi elde ederiz:
x ^ 2 + x - 1 = 0.
Aşama 3
Denklemin, doğal olarak yalnızca pozitifiyle ilgilendiğimiz iki gerçek kökü vardır. Yaklaşık olarak 0, 618'e eşit olan (√5 - 1) / 2'ye eşittir. Bu sayı altın oranı ifade eder. Matematikte çoğunlukla φ harfi ile gösterilir.
4. Adım
φ sayısı bir dizi dikkate değer matematiksel özelliğe sahiptir. Örneğin orijinal denklemden bile 1 / φ = φ + 1 olduğu görülüyor. Gerçekten de 1 / (0, 618) = 1, 618.
Adım 5
Altın oranı hesaplamanın başka bir yolu da sonsuz bir kesir kullanmaktır. Herhangi bir rastgele x'ten başlayarak, sırayla bir kesir oluşturabilirsiniz:
x
1 / (x + 1)
1 / (1 / (x + 1) + 1)
1 / (1 / (1 / (x + 1) + 1) +1)
vb.
6. Adım
Hesaplamaları kolaylaştırmak için bu kesir, bir sonraki adımı hesaplamak için önceki adımın sonucuna bir eklemeniz ve elde edilen sayıya bölmeniz gereken yinelemeli bir prosedür olarak temsil edilebilir. Diğer bir deyişle:
x0 = x
x (n + 1) = 1 / (xn + 1).
Bu süreç yakınsar ve limiti φ + 1'dir.
7. Adım
Karşılıklı hesaplamayı karekökün çıkarılmasıyla değiştirirsek, yani yinelemeli bir döngü gerçekleştiririz:
x0 = x
x (n + 1) = √ (xn + 1), o zaman sonuç değişmeden kalacaktır: başlangıçta seçilen x ne olursa olsun, yinelemeler φ + 1 değerine yakınsar.
8. Adım
Geometrik olarak, altın oran düzgün bir beşgen kullanılarak oluşturulabilir. İçine kesişen iki köşegen çizersek, her biri diğerini kesinlikle altın oranda böler. Efsaneye göre bu gözlem, bulunan desen karşısında çok şaşıran ve doğru beş köşeli yıldızı (pentagram) kutsal bir ilahi sembol olarak kabul eden Pisagor'a aittir.
9. Adım
Bir insana en uyumlu görünenin altın oran olmasının nedenleri bilinmiyor. Bununla birlikte, deneyler, segmenti en güzel şekilde iki eşit olmayan parçaya ayırması talimatı verilen deneklerin bunu altın orana çok yakın oranlarda yaptıklarını defalarca doğrulamıştır.
